Correction - S'auto-évaluer Compléter page 45 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

S'auto-évaluer Compléter page 45

Soit $AHO$ est un triangle rectangle en $O$

Recopions et complétons le tableau suivant par des valeurs approchées à $0,1$ près :

* Ligne 1 :
- Cherchons $\widehat{H}$
$\widehat{H} = 90°-\widehat{A}=90°-34°={\color{Red}{56°}}$

- Cherchons $AO$
$sin~\widehat{H}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{H}}{hypténuse}$$\Rightarrow$

$sin~56°=\frac{AO}{HA}$$\Rightarrow$

$sin~56°=\frac{AO}{7}$$\Rightarrow$

Et avec la calculatrice on trouve :

$sin~56°=0,8$

Donc :

$0,8=\frac{AO}{7}$$\Rightarrow$

$AO=0,8\times7$$\Rightarrow$

$AO=$ $5,6$

- Cherchons $OH$

$HA^2=AO^2+OH^2$$\Rightarrow$

$OH^2=HA^2-AO^2$$\Rightarrow$

$OH^2=7^2-(5,6)^2$$\Rightarrow$

$OH^2=49-31,4$$\Rightarrow$

$OH^2=15,36$$\Rightarrow$

$OH=\sqrt{17,64}$$\Rightarrow$

$OH=$ $4,2$

* Ligne 2 :
- Cherchons $\widehat{A}$
$\widehat{A} = 90°-\widehat{H}=90°-25°={\color{Red}{56°}}$

- Cherchons $AO$
$tg~\widehat{H}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{H}}{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}$$\Rightarrow$

$tg~65°=\frac{AO}{OH}$$\Rightarrow$

$tg~65°=\frac{AO}{6}$$\Rightarrow$

Et avec la calculatrice on trouve :

$tg~25°=0,5$

Donc :

$0,5=\frac{AO}{6}$$\Rightarrow$

$AO=0,5\times6$$\Rightarrow$

$AO=$ $3$

- Cherchons $HA$

$HA^2=AO^2+OH^2$$\Rightarrow$

$HA^2=3^2+6^2$$\Rightarrow$

$HA^2=9+36$$\Rightarrow$

$HA^2=45$$\Rightarrow$

$HA=\sqrt{45}$$\Rightarrow$

$HA=$ $6,7$

* Ligne 3 :
- Cherchons $OH$

$HA^2=AO^2+OH^2$$\Rightarrow$

$AO^2=HA^2-OH^2$$\Rightarrow$

$AO^2=14^2-(7,5)^2$$\Rightarrow$

$AO^2=196-56,25$$\Rightarrow$

$OH^2=139,75$$\Rightarrow$

$OH=\sqrt{139,75}$$\Rightarrow$

$OH=$ $11,8$

- Cherchons $\widehat{H}$
$cos~\widehat{H}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}$$\Rightarrow$

$cos~\widehat{H}=\frac{OH}{HA}$$\Rightarrow$

$cos~\widehat{H}=\frac{7,5}{14}$$\Rightarrow$

$cos~\widehat{H}=0,5$$\Rightarrow$

Donc :

$\widehat{H}=$ $57,6°$

- Cherchons $\widehat{A}$
$\widehat{A} = 90°-\widehat{H}=90°-57,6°={\color{Red}{32,4°}}$

* Ligne 4 :
- Cherchons $HA$

$HA^2=AO^2+OH^2$$\Rightarrow$

$HA^2=3^2+15^2$$\Rightarrow$

$HA^2=9+225$$\Rightarrow$

$HA^2=234$$\Rightarrow$

$HA=\sqrt{234}$$\Rightarrow$

$HA=$ $15,3$

- Cherchons $\widehat{H}$
$cos~\widehat{H}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}$$\Rightarrow$

$cos~\widehat{H}=\frac{OH}{HA}$$\Rightarrow$

$cos~\widehat{H}=\frac{15}{15,3}$$\Rightarrow$

$cos~\widehat{H}=0,98$$\Rightarrow$

Donc :

$\widehat{H}=$ $11,5°$

- Cherchons $\widehat{A}$

$\widehat{A} = 90°-\widehat{H}=90°-11,5°={\color{Red}{78,5°}}$

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