Correction - S'auto-évaluer Compléter page 45 - Rapports trigonométriques d'un angle aigu - Relations métriques dans un triangle rectangle

1ère année secondaire

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Relations métriques dans un triangle rectangle

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Soit \(AHO\) est un triangle rectangle en \(O\)

Recopions et complétons le tableau suivant par des valeurs approchées à \(0,1\) près :

* Ligne 1 :
- Cherchons \(\widehat{H}\)
\(\widehat{H} = 90°-\widehat{A}=90°-34°={\color{Red}{56°}}\)

- Cherchons \(AO\)
\(sin~\widehat{H}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{H}}{hypténuse}\)\(\Rightarrow\)

\(sin~56°=\frac{AO}{HA}\)\(\Rightarrow\)

\(sin~56°=\frac{AO}{7}\)\(\Rightarrow\)

Et avec la calculatrice on trouve :

\(sin~56°=0,8\)

Donc :

\(0,8=\frac{AO}{7}\)\(\Rightarrow\)

\(AO=0,8\times7\)\(\Rightarrow\)

\(AO=\) \(5,6\)

- Cherchons \(OH\)

\(HA^2=AO^2+OH^2\)\(\Rightarrow\)

\(OH^2=HA^2-AO^2\)\(\Rightarrow\)

\(OH^2=7^2-(5,6)^2\)\(\Rightarrow\)

\(OH^2=49-31,4\)\(\Rightarrow\)

\(OH^2=15,36\)\(\Rightarrow\)

\(OH=\sqrt{17,64}\)\(\Rightarrow\)

\(OH=\) \(4,2\)

* Ligne 2 :
- Cherchons \(\widehat{A}\)
\(\widehat{A} = 90°-\widehat{H}=90°-25°={\color{Red}{56°}}\)

- Cherchons \(AO\)
\(tg~\widehat{H}=\frac{côté~opposé~pour~\widehat{H}}{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}\)\(\Rightarrow\)

\(tg~65°=\frac{AO}{OH}\)\(\Rightarrow\)

\(tg~65°=\frac{AO}{6}\)\(\Rightarrow\)

Et avec la calculatrice on trouve :

\(tg~25°=0,5\)

Donc :

\(0,5=\frac{AO}{6}\)\(\Rightarrow\)

\(AO=0,5\times6\)\(\Rightarrow\)

\(AO=\) \(3\)

- Cherchons \(HA\)

\(HA^2=AO^2+OH^2\)\(\Rightarrow\)

\(HA^2=3^2+6^2\)\(\Rightarrow\)

\(HA^2=9+36\)\(\Rightarrow\)

\(HA^2=45\)\(\Rightarrow\)

\(HA=\sqrt{45}\)\(\Rightarrow\)

\(HA=\) \(6,7\)

* Ligne 3 :
- Cherchons \(OH\)

\(HA^2=AO^2+OH^2\)\(\Rightarrow\)

\(AO^2=HA^2-OH^2\)\(\Rightarrow\)

\(AO^2=14^2-(7,5)^2\)\(\Rightarrow\)

\(AO^2=196-56,25\)\(\Rightarrow\)

\(OH^2=139,75\)\(\Rightarrow\)

\(OH=\sqrt{139,75}\)\(\Rightarrow\)

\(OH=\) \(11,8\)

- Cherchons \(\widehat{H}\)
\(cos~\widehat{H}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~\widehat{H}=\frac{OH}{HA}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~\widehat{H}=\frac{7,5}{14}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~\widehat{H}=0,5\)\(\Rightarrow\)

Donc :

\(\widehat{H}=\) \(57,6°\)

- Cherchons \(\widehat{A}\)
\(\widehat{A} = 90°-\widehat{H}=90°-57,6°={\color{Red}{32,4°}}\)

* Ligne 4 :
- Cherchons \(HA\)

\(HA^2=AO^2+OH^2\)\(\Rightarrow\)

\(HA^2=3^2+15^2\)\(\Rightarrow\)

\(HA^2=9+225\)\(\Rightarrow\)

\(HA^2=234\)\(\Rightarrow\)

\(HA=\sqrt{234}\)\(\Rightarrow\)

\(HA=\) \(15,3\)

- Cherchons \(\widehat{H}\)
\(cos~\widehat{H}=\frac{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}{côté~adjacent~pour~\widehat{H}}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~\widehat{H}=\frac{OH}{HA}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~\widehat{H}=\frac{15}{15,3}\)\(\Rightarrow\)

\(cos~\widehat{H}=0,98\)\(\Rightarrow\)

Donc :

\(\widehat{H}=\) \(11,5°\)

- Cherchons \(\widehat{A}\)

\(\widehat{A} = 90°-\widehat{H}=90°-11,5°={\color{Red}{78,5°}}\)

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