Correction - Exercice 26 page 149 - Activités numériques I

1ère année secondaire

Activités numériques I

Correction - Exercice 26 page 149

Trouvons le nombre d'écoliers, de collégiens et de lycéens. En écrivons toutes les solutions.

Soient $l$ le nombre des lycéens, $c$ celui des collégiens et $e$ celui des écoliers.

On a $10$$l$ $+$ $2$$c$ $+$ $0,5$$e$ $=$ $200$.

On a aussi $l$ $+$ $c$ $+$ $e$ $=$ $100$, d'où $l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$

Alors
$10$$l$ $+$ $2$$c$ $+$ $0,5$$e$ $=$ $200$

$\Rightarrow$ $10$$($$100$ $-$ $c$ $-$ $e$$)$ $+$ $2$$c$ $+$ $0,5$$e$ $=$ $200$

$\Rightarrow$ $1000$ $-$ $10c$ $-$ $10e$ $+$ $2$$c$ $+$ $0,5$$e$ $=$ $200$

$\Rightarrow$ $-$ $10c$ $+$ $2$$c$$-$$10e$ $+$ $0,5$$e$ $=$ $200$ $-$ $1000$

$\Rightarrow$ $-$ $8$ $c$ $-$ $9,5$ $e$ $=$ $-800$

$\Rightarrow$ $8$$c$ $+$ $9,5$$e$ $=$ $800$

$\Rightarrow$ $80$$c$ $+$ $95$$e$ $=$ $8000$

$\Rightarrow$ $c$ $=$ $\frac{8000\color{Red}{- 95e}}{80}$

$\Rightarrow$ $c$ $=$ $\frac{8000}{80}$ $-$ $\frac{\color{Red}{95e}}{\color{Red}{80}}$

$\Rightarrow$ $c$ $=$ $100$ $-$ $\frac{\color{Red}{95e}}{\color{Red}{80}}$

$\Rightarrow$ $c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$

Bien entendu $c$ représente le nombre d'écoliers qui doit être un entier naturel, ce qui nous donne $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ un entier naturel, et par la suite $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ est aussi un entier naturel. 
Pour que $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ soit un entier naturel il faut que $e$ soit un multiple de $16$. (on multiplions $\frac{19}{16}$ par un multiple de 16 nous donne un entier naturel).



Trouvons toutes les solutions des nombres d'écoliers, des collégiens et des lycéens.

Calculons $c$ et $l$ à partir de $e$ :

* Si $e=0$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times0}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $0$  $=$ $100$. alors $c=100$.
$l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$ $=$ $100$ $-$ $100$ $-$ $0$ $=$ $0$. alors $l=0$.

* Si $e=16$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times16}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $19$  $=$ $81$. alors $c=81$.
$l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$ $=$ $100$ $-$ $81$ $-$ $16$ $=$ $3$. alors $l=3$.

* Si $e=32$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times32}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $38$  $=$ $62$. alors $c=62$.
$l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$ $=$ $100$ $-$ $62$ $-$ $32$ $=$ $6$. alors $l=6$.

* Si $e=48$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times48}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $57$  $=$ $43$. alors $c=43$.
$l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$ $=$ $100$ $-$ $43$ $-$ $48$ $=$ $9$. alors $l=9$.

* Si $e=64$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times64}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $76$  $=$ $24$. alors $c=24$.
$l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$ $=$ $100$ $-$ $24$ $-$ $64$ $=$ $12$. alors $l=12$.

* Si $e=80$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times80}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $95$  $=$ $5$. alors $c=5$.

$l$ $=$ $100$ $-$ $c$ $-$ $e$ $=$ $100$ $-$ $5$ $-$ $80$ $=$ $15$. alors $l=15$.

* Si $e=96$
$c$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19e}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $\color{Red}{\frac{19\times96}{16}}$ $=$ $100$ $-$ $114$  $=$ $-5$. le nombre des écoliers ne peut pas être négatif, et par la suite $e$ ne peut pas être $96$.

Conclusion :
Les solutions possible sont :
$l=0$ ; $c=100$ ; $e=0$
$l=3$ ; $c=81$ ; $e=16$
$l=6$ ; $c=62$ ; $e=32$
$l=9$ ; $c=43$ ; $e=48$
$l=12$ ; $c=24$ ; $e=64$
$l=15$ ; $c=5$ ; $e=80$

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