Correction - Exercice 01 page 33 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 01 page 33

\(ABC\) est un triangle équilatéral de côté \(3cm\). \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs des segments \([AB]\), \([BC]\) et \([AC]\).

1- Montrons que \(IJK\) est un triangle équilatéral.

On a :

\(AB\) \(=\)  \(CB\) \(=\)  \(AC\) \(=\)  \(3cm\).

Et on a :

\(KJ\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(.AB\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(\times3\) \(=\) \(\frac{3}{2}\)\(=1,5cm\).

\(KI\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(.CB\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(\times3\) \(=\) \(\frac{3}{2}\)\(=1,5cm\).

\(IJ\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(.AC\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)\(\times3\) \(=\) \(\frac{3}{2}\)\(=1,5cm\).

D'où \(KJ\) \(=\) \(KI\) \(=\) \(IJ\)

Donc le triangle \(IJK\) est un triangle équilatéral de côté \(1,5cm\).

2- Calculons le périmètre et l'aire de \(IJK\).
Soit \(P\) le périmètre de \(IJK\)
\(P=KJ+KI+IJ=3\times1,5=4,5cm\).

Soit \(A\) l'aire de triangle \(IJK\), \(KH\) l'hauteur et \(IJ\) la base \((IJ=1,5cm)\).

\(A=\)\(\frac{IJ\times KH}{2}\).

Comme \(KHJ\) est un triangle rectangle, alors \(KJ^2=KH^2+HJ^2\)

D'où \(KH^2=KJ^2-HJ^2\)

Et par la suite \(KH=\)\(\sqrt{KJ^2-{\color{Red} {HJ}}^2}=\sqrt{1,5^2-{\color{Red}{0,75}}^2}\)
(\(HJ=\)\(\frac{1}{2}\)\(IJ=\)0,75cm)

Donc \(KH=\)\(\sqrt{2,25-0,5625}=1,299cm\)

\(A=\) \(\frac{IJ\times KH}{2}\) \(=\) \(\frac{1,5\times 1,299}{2}\) \(=\) \(\frac{1,949}{2}\)\(=\) \(0,97cm^2\)

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