Correction - Exercice 17 page 164 - Activités numériques II

1ère année secondaire

Activités numériques II

Exercice 17 page 164

a) Calculons \(A^2\) et \(B^2\).

On a \(A=1+\sqrt{5}\) et \(B=1–\sqrt{3}\)

\(A^2 = (1+\sqrt{5})^2 = 1^2+2\times1\times\sqrt{5} + \sqrt{5}^2 = 1+2\sqrt{5}+5 = 6 +2\sqrt{5}\)

\(B^2 = (1-\sqrt{3})^2 = 1^2-2\times1\times\sqrt{3} + \sqrt{3}^2 = 1+2\sqrt{3}+3 = 4 -2\sqrt{3}\)


b) Simplifions \(C\).

D'après a) \(6 +2\sqrt{5} = (1+\sqrt{5})^2\)

Alors

\(C=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}\) \(\Rightarrow\)

\(C=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^2}\) \(\Rightarrow\)

\(C=\)\(\frac{1+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}\) \(\Rightarrow\)

\(C=\)\(\frac{1}{(1+\sqrt{5})}\)


c) Calculons \(A\times C\).

\(A\times C=(1+\sqrt{5})\times\) \(\frac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}\) \(\Rightarrow\)

\(A\times C=(1+\sqrt{5})\times\) \(\frac{1}{(1+\sqrt{5})}\) \(\Rightarrow\)

\(A\times C=1\)


d) Montrons que \(C=\)\(\frac{2-\sqrt{12}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\) est un entier.

D'après a) \(4 -2\sqrt{3} = (1-\sqrt{3})^2\)
Alors

\(C=\)\(\frac{2-\sqrt{12}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)\(=\)\(\frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}}\)\(=\)\(\frac{2(1-\sqrt{3})}{|1-\sqrt{3}|}\)\(=\)\(\frac{2(1-\sqrt{3})}{-(1-\sqrt{3})}\)\(=\)\(-\frac{2}{1}\)\(=\)\(-2\).

Donc \(C\) est un entier.

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