Correction - Exercice 17 page 164 - Activités numériques II

1ère année secondaire

Activités numériques II

Exercice 17 page 164

a) Calculons $A^2$ et $B^2$.

On a $A=1+\sqrt{5}$ et $B=1–\sqrt{3}$

$A^2 = (1+\sqrt{5})^2 = 1^2+2\times1\times\sqrt{5} + \sqrt{5}^2 = 1+2\sqrt{5}+5 = 6 +2\sqrt{5}$

$B^2 = (1-\sqrt{3})^2 = 1^2-2\times1\times\sqrt{3} + \sqrt{3}^2 = 1+2\sqrt{3}+3 = 4 -2\sqrt{3}$


b) Simplifions $C$.

D'après a) $6 +2\sqrt{5} = (1+\sqrt{5})^2$

Alors

$C=$$\frac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$ $\Rightarrow$

$C=$$\frac{1+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^2}$ $\Rightarrow$

$C=$$\frac{1+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}$ $\Rightarrow$

$C=$$\frac{1}{(1+\sqrt{5})}$


c) Calculons $A\times C$.

$A\times C=(1+\sqrt{5})\times$ $\frac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$ $\Rightarrow$

$A\times C=(1+\sqrt{5})\times$ $\frac{1}{(1+\sqrt{5})}$ $\Rightarrow$

$A\times C=1$


d) Montrons que $C=$$\frac{2-\sqrt{12}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$ est un entier.

D'après a) $4 -2\sqrt{3} = (1-\sqrt{3})^2$
Alors

$C=$$\frac{2-\sqrt{12}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$$=$$\frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}}$$=$$\frac{2(1-\sqrt{3})}{|1-\sqrt{3}|}$$=$$\frac{2(1-\sqrt{3})}{-(1-\sqrt{3})}$$=$$-\frac{2}{1}$$=$$-2$.

Donc $C$ est un entier.

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