Correction - Exercice 13 page 20 - Angles

1ère année secondaire

Angles

Exercice 13 page 20

Traçons le triangle équilatéral $ABC$ et son cercle circonscrit $(C)$.

1- Montrons que le triangle $MNC$ est équilatéral.

On a $MN = MC$ alors le triangle $MNC$ est isocèle en $M$.

Et comme les deux angles $\widehat{A B C}$ et $\widehat{A M C}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{[AC]}$, donc ils sont isométriques.

D'où $\widehat{A B C}$$=$$\widehat{A M C}$$=$$60°$

Et puisque $\widehat{M N C}$$=$$\widehat{M C N}$$=$$\frac{120°}{2}$$=$$60°$ (car $180°-60°=120°$)

Conclusion :
Les trois angles du triangle $MNC$ sont égaux et mesurent $60°$ alors il est équilatéral.

2- 
Déterminons la nature du triangle $APN$.

* Les deux angles $\widehat{A N P}$ et $\widehat{M N C}$ sont opposés au sommet, alors $\widehat{A N P}$ $=$ $\widehat{M N C}$ $=$ $60°$.

* Les deux angles $\widehat{A P C}$ et $\widehat{A M C}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{[AC]}$, alors $\widehat{A P C}$ $=$ $\widehat{A M C}$ $=$  $60°$.

Donc l'angle $\widehat{P A N}$ égale aussi à $60°$.

Conclusion :
Le triangle $APN$ est équilatéral.

Déterminons la nature du quadrilatère $MNPB$.

* Les deux angles $\widehat{A C B}$ et $\widehat{A M B}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{[AB]}$, alors $\widehat{A C B}$ $=$ $\widehat{A M B}$ $=$ $60°$.

* Les deux angles $\widehat{B A C}$ et $\widehat{B P C}$ interceptent le même arc $\overset{\frown}{[BC]}$, alors $\widehat{B A C}$ $=$ $\widehat{B P C}$ $=$ $60°$.

* $\widehat{P N M}$ $=$  $180°-60°=120°$.

* $\widehat{P B M}$ $=$  $360°-(60°+60°+120°)=120°$.

Conclusion :

Le quadrilatère $MNPB$ est un parallélogramme car ses angles opposés sont isométriques.

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Cours - Angles

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