Correction - Exercice 11 page 34 - Théorème de Thalès et sa réciproque
Soit \(M\) un point de \([BC]\) tel que \(CM=1cm\).
La perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\).
1- Calculons le périmètre du triangle \(CMN\).
Soit \(AH\) l'hauteur du triangle \(ABC\) issue de A.
Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\) alors \({AH}^2+{HC}^2={AC}^2\)
D'où \(AH^2=\)\(AC^2-HC^2=\)\(5^2-{{\color{Magenta} 3}}^2=25-9=16\) (\(HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\) car dans un triangle isocèle la hauteur issue du sommet est aussi la médiane issue de ce sommet ainsi que la médiatrice du côté opposé.)
* On cherche \(MN\)
D'après le théorème de Thalès on a :\(\frac{CM}{CH}\)\(=\)\(\frac{CN}{CA}\)\(=\)\(\frac{MN}{AH}\)
\(\frac{CM}{CH}\)\(=\)\(\frac{MN}{AH}\)
* On cherche \(CN\)
\(\frac{CM}{CH}\)\(=\)\(\frac{CN}{CA}\)
Soit \(P\) le périmètre du triangle \(CMN\).
\(P=MN+CN+MC=\)\(\frac{4}{3}\)\(+\)\(\frac{5}{3}\)\(+\)\(1\)\(\Rightarrow\)
\(P=\)\(\frac{4}{3}\)\(+\)\(\frac{5}{3}\)\(+\)\(\frac{3}{3}\)\(\Rightarrow\)
\(P=\)\(\frac{12}{3}\) \(\Rightarrow\)
\(P=\)\(4cm\)
2- Calculons l'aire du triangle \(CMN\).
Soit \(A\) l'aire du triangle \(CMN\).
\(A=\)\(\frac{MN\times MC}{2}\)\(=\)\(\frac{\frac{4}{3}\times 1}{2}\)\(=\)\(\frac{\frac{4}{3}}{2}\)\(=\)\(\frac{4}{3}\)\(\times\)\(\frac{1}{2}\)\(=\)\(\frac{2}{3}\)\(cm^2\).
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