Correction - Exercice 11 page 34 - Théorème de Thalès et sa réciproque

1ère année secondaire

Théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 11 page 34

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $AC=5cm$ et $BC=6cm$.

Soit $M$ un point de $[BC]$ tel que $CM=1cm$.

La perpendiculaire à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$.

1- Calculons le périmètre du triangle $CMN$.
Soit $AH$ l'hauteur du triangle $ABC$ issue de A.

Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$ alors ${AH}^2+{HC}^2={AC}^2$

D'où $AH^2=$$AC^2-HC^2=$$5^2-{{\color{Magenta} 3}}^2=25-9=16$ ($HC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3$ car dans un triangle isocèle la hauteur issue du sommet est aussi la médiane issue de ce sommet ainsi que la médiatrice du côté opposé.)

Alors $AH=$$\sqrt{16}=4cm$

* On cherche $MN$

D'après le théorème de Thalès on a :
$\frac{CM}{CH}$$=$$\frac{CN}{CA}$$=$$\frac{MN}{AH}$
$\frac{CM}{CH}$$=$$\frac{MN}{AH}$

$MN$ $=$ $\frac{CM\times AH}{CH}$ $=$ $\frac{1\times 4}{3}$ $=$ $\frac{4}{3}$

* On cherche $CN$

$\frac{CM}{CH}$$=$$\frac{CN}{CA}$

$CN$ $=$ $\frac{CM\times CA}{CH}$ $=$ $\frac{1\times 5}{3}$ $=$ $\frac{5}{3}$

Soit $P$ le périmètre du triangle $CMN$.

$P=MN+CN+MC=$$\frac{4}{3}$$+$$\frac{5}{3}$$+$$1$$\Rightarrow$

$P=$$\frac{4}{3}$$+$$\frac{5}{3}$$+$$\frac{3}{3}$$\Rightarrow$
$P=$$\frac{12}{3}$ $\Rightarrow$

$P=$$4cm$


2- Calculons l'aire du triangle $CMN$.
Soit $A$ l'aire du triangle $CMN$.

$A=$$\frac{MN\times MC}{2}$$=$$\frac{\frac{4}{3}\times 1}{2}$$=$$\frac{\frac{4}{3}}{2}$$=$$\frac{4}{3}$$\times$$\frac{1}{2}$$=$$\frac{2}{3}$$cm^2$.

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